東大生５人の頭脳でも導きだせない⁉「ケーキを公平に3つに分ける方法」を考えてみた

３年の受験勉強を経て、4月から東京大学に通っています。さんきゅう倉田です。職業は芸人です。

みなさんは何かを相談したいとき、誰に相談するだろうか。きっと配偶者や恋人、親、友人、上司、先輩といった身近な人や頼れる人に相談することが多いだろう。

相談というのは、２種類に分けられる。話すことによってカタルシス（気持ちの開放）を得たい場合と、解決を求める場合だ。今ぼくが、解決を求めて何かを誰かに相談しようと思ったら、その相手は東大の仲間だ。

18歳から〜20歳の友人たちは、それぞれに得意分野があり様々な問題を解決する能力を持っている。

専門分野でなくとも、豊富な知識と論理的思考によって回答を導くことができる。彼らが提起された問題を解決するまでの過程は、美しく輝いていて眩しい。

 

2つのケーキを公平に分ける方法は

先日、法学の講義中に「ふたりの子どもがいます。ホールケーキが1つあって、公平に分けたいと思います。どうやって分けますか。道具はナイフしかありません」という問いを出された。

東大の多くの講義ではリアクションペーパー（以下、リアぺ）なるものを書かされる。講義を受けた後に、質問や所感を書いて提出することで、平常点が与えられる仕組みになっている。

「このケーキを2つに」問題もリアぺでの回答を求められた。

 

読者のみなさんは、なにか合理的な分け方を思いつくだろうか。

ぼくは、「一人がケーキを半分になるように切り、もう一人が2つに切られたケーキの好きな方を選ぶ」である。

切った人は半分に切ったつもりだから、2つのうちどちらを選んでも納得する。もう一人は大きいと思った方を選べば良い（明示されていないが、大きい方が嬉しいという前提があることを行間から判断する）。

 

おそらく東大生なら5秒くらいで95％が思いつく分け方だ。残り5％はさらに素晴らしい切り方を提案したり、屁理屈を言ったりするかもしれない。

この問題の解決は容易だ。ただ、ここで1つ疑問に思った。三人の場合は同じように公平に分けられるだろうか。

 

 

3つのケーキを公平に分ける方法は

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ぼくの自宅に東大生たち4人がやってきたときに、この問題を解決したいと相談した。彼らはしばらく沈黙してから、議論を始めた。

数学で出てくる「場合分け」という仕組みをつかって考えてみることにした。場合分けとは、「この場合ならこちらを実行、そうでなければあちらを実行」というように、場合に応じて複数の処理方法のなかから選んで実行すること。高校数学で習った記憶がある人もいるのではないでしょうか。

 

まず、便宜的に3人に名前をつける。
3人のうち誰かが最初にケーキを切らなければいけないので、彼をA、その次に切る人をB、切らない人をCとした。

 

１人が２回ケーキに入刀すると…

Aが１回目も２回目も切る場合を考える。
縦に２回包丁を入れるとケーキは①②③の3つになるが、ケーキの大きさがちょうど同じでないならば、ケーキを切っていない二人が公平にケーキを取ることができないので、この方法は採用できない。

 

２人が１回ずつケーキを入刀すると…

次に、１回目に切るAと２回目に切るBが存在する場合を考える。
Aは１/3（①と呼ぶ）と2/3になるように切る。次にBは2/3を切るがここで工夫が必要だ。Bの気持ちになって場合分けしなければならない。

 

・場合分け❶
客観的に見て①が1/3以下の場合。2/3を半分に切ればよい。それをまずCに選んでもらい、もう一方をBが選び、Aは自分で切った①を取れば公平だ。

 

・場合わけ❷
客観的に見て①が1/3より大きい場合。ここからが難しい。

2/3をちょうど半分に分けても、Cが①を取るので、Bは確実に Cより小さいケーキを取ることになる。
だから、2/3を分けるときに、①と同じ大きさになるように切る。これを②としよう。2/3を②と③に分けるので、③は一番小さい。

３つに切り分けられた①②③を誰から順に取るべきだろうか。

まず考えられるのはCだ。Cが①と②の中で大きいと思う方を選ぶ。Bは①と②を同じ大きさに切ったつもりなので、どちらでも納得する。

 

さて、Aは余った③を取ることになるが納得するだろうか。

 

▶つづきの【後編】を読む
東大生たちがさらに議論をすすめる！ 「場合分け❷」の条件で、さらに３つの場合分けをして議論を進めていくと……。

 

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