降水確率50%､傘は持っていく？納得｢数学的｣解答 ｢場合分け｣と｢期待値｣で外出前にもう迷わない

この中で最悪なのはケース④、つまり傘を持たずに出かけたが雨が降ってしまった場合でしょう。たとえば、不快度を「10」としましょう（もちろん「10」でなくても問題ありません）。

次にケース①がどれくらい不快かを数値に置き換えます。ここでの不快とは、たとえばずっと傘を持って歩くことの面倒さなどでしょうか。ここで重要なのは、先ほどのケース④の不快度（10）と比較してどれくらいかを考えることです。つまりここで示される数値は絶対的なものではなく相対的なものになります。

仮にケース①の不快度を「3」としましょう。さらにケース①とケース②は傘を持っている手間というコストを支払っている意味では同じなので、ケース②の不快度も「3」であると考えます。

もちろんこの数字も人によって違うでしょう。晴れの日に傘を持っていることと雨の日に傘を持っていることでは意味が違うと考える人もいるかもしれません。そのような価値観の人はそのように数値で表現すればよいのです。

最後にケース③については、特に不快になる理由はないので、不快度は「0」としました。整理すると、

ケース①の不快度： 3

ケース②の不快度： 3

ケース③の不快度： 0

ケース④の不快度： 10

となります。

降水確率とかけ合わせて「期待値」を導く

次に、「期待値」という考え方を持ち込みます。降水確率が50%（0.5）の場合、逆に晴れる確率は50%になることに注意すると、「傘を持っていく」と「傘を持っていかない」の期待値は次のようになります。

傘を持っていく：3×0.5＋3×0.5＝1.5＋1.5＝3

傘を持っていかない：0×0.5＋10×0.5＝0＋5＝5

すなわち、「傘を持っていかない」のほうが不快度は高いということになります。人間は誰しもわざわざ不快になるほうを選んだりはしません。降水確率が50%の日は、傘を持っていく選択が合理的だと説明ができます。

この考え方を使うと、降水確率をPとしたとき、それぞれの期待値は次のように計算できます。

傘を持っていく：　3×(1-P)＋3×P＝3-3P＋3P＝3

傘を持っていかない：　0×(1-P)＋10×P＝0＋10P＝10P

このような期待値で表現される価値観をお持ちの方にとって、傘を持っていくという選択が合理的になるのは、どのような場合でしょうか。傘を持っていくということは、その選択をしたほうが不快は少ないと考えます。すなわち、次の不等式が成り立ちます。

3＜10P

Pについて解くと

P＞0.3

つまりこの人物は、降水確率が30％を超える場合は傘を持っていく判断をするということになります。

お気づきのように、この考え方で得られる結論は「不快度」としてどのような数値を設定するかで決まります。不快度は、何をどれくらい不快に感じるかを直感的かつ曖昧な状態にせず、極めて具体的な言語に変換した結果です。つまりその人物の感覚が数値化されているものと言えます。

よろしければあなたも同じように試してみてください。あなたは降水確率が何％以上なら傘を持っていく判断をする人物でしょうか。

深沢 真太郎：BMコンサルティング代表取締役､ビジネス数学教育家