18÷0=｢0｣は間違い？東大生が教える納得の解答 難しい知識がなくても理解できる｢関数の極限｣

ここまでは、おそらく皆さんの想像のとおりでしょう。そして、この例示している「18」という数字が「3」や「10」など、どんな数字であっても同じ議論になるように見えます。

しかし、1つだけ例外があるのです。それは「0÷0 = ？」という問題である場合です。

「0÷0=●」に対しても、対応する逆演算（かけ算）を考えてみましょう。今回の場合は、

0×●=0 （あるいは●×0=0）

の●の中身を考えることになります。ここで、先ほども述べた「0は何倍しても0」という定義を踏まえると、先ほどとは真逆のパターンで、●にどんな数字を入れても式が成立する、となるのです。

つまり「数字を0で割る」という計算はすべて同じ結果になるように見えて、「割られる数が0であるかどうか」で2種類に分かれるのです。

これを、数学用語を用いると、

A÷0 = 不能（A≠0）

A÷0 = 不定（A=0）

と表すことができます。ここでいう「不能」とは「解を求めることができない（存在しない）」という意味であり、「不定」とは「解が1つに定まらない」という意味です。

どちらにせよ解は存在しないため、「答えなし」「エラー」という表記が正しいのですが、厳密にいうと「0÷0」と「3÷0」の答えは違うものなのです。

高校の「数学Ⅲ」で学ぶ「関数の極限」

さて、ここまで「18÷0」という具体例を挙げながら、「数字を0で割る」ことの定義について説明しました。しかし実は、この問題を理系の高校生や大学生に聞くと、「答えは∞（無限大）である」と答えられることがあるのです。

現在の学習指導要領では、高校数学は「数学Ⅰ」「数学A」「数学Ⅱ」「数学B」「数学Ⅲ」「数学C」の6つの科目に分かれています。そのうち、数学Ⅲ・数学Cは選択科目であり、理系を専攻した学生が学ぶものとなっています。

この数学Ⅲの中に、「関数の極限」という単元があり、実はここで「数字を0で割る」という演算に対しての1つの答えが示されているのです。

「極限」とは、「変数を限りなく近づける」という考え方です。例えば、xを3に近づけたときに、「f（x） = x+3」という関数の値は「3+3」で「6」に近づくことが計算によってわかります。これを、「lim」という記号を用いて、

lim（x→3） x+3=6

と表すのです。この例だけを考えてみると、「わざわざ、そんなめんどくさい書き方しなくても、x=3のときx+3=6でいいじゃないか」と思う人が多いでしょう。