東大生伝授､使えると便利｢片手で31まで｣数える術 知ると視野が広がる｢n進法｣の興味深い世界

片手で多く数える方法を解説します（写真：ペイレスイメージズ1（モデル）／PIXTA）

数学を使った世の中の仕組みを知ることで、物事を見る視野が広がります。現役東大生の永田耕作さんが数学の魅力について解説する連載『東大式「新・教養としての数学」』。今回は「n進法」について解説します。

思い出してほしい「2進法」のロジック

今回は、まずこちらのクイズから考えてみましょう。

【図で理解】2進法を使って片手で31まで数える方法

問題：片手を使って数えられる数はいくつまでですか？

いかがでしょうか。おそらく多くの方は「5」だと考えるでしょう。実際にこの数え方を使ってものを数えたり、何かを表現したりすることもあると思います。

しかしこの問いを僕の周りの東大生に投げかけると、「31」や「32」と答える人が現れるのです。これは驚きですよね。

この「31」や「32」はどのようなロジックで導き出されているのか。ここに中学校や高校の数学で習う「2進法」という数字の考え方が隠されているのです。

2進法とは0と1だけで数を表す記法のことで、それによって表された数を2進数と呼びます。コンピューターの電子回路などで使われているため、その名前を聞いたことがあるという人も多いでしょう。

2進法で表された数は「101」、「1001110」などのように、0または1の数が各位で連続することになります。2進数での数の数え方を小さいものから順に考えると、次のようになります。

■10進法　→　2進法

0　→　0

1　→　1

2　→　10

3　→　11

4　→　100

5　→　101

6　→　110

7　→　111

8　→　1000

9　→　1001

10　→　1010

0と1しか使えないため、1の次に大きい数は「2」にはならず、位がひとつ増えて「10」になります。

同じ要領で進めていくと、1を1番目とした際の10番目の数は「1010」の4桁で表されることがわかります。

ちなみに、われわれが普段当たり前に使っている数の数え方は「10進法」と言います。これもいくつかの数の記法のうちの1つでしかないのです。0から9までの10種類の数を使ってものの大小を表しているので、10進数となります。

話を戻しましょう。ここまで説明した2進法の考え方を応用すると、片手でより多くの数を表すことができるのです。

親指から小指までの5本の指において、それぞれ指を「開いている」状態と、「折っている」状態の2種類が存在します。

この2種類にそれぞれ「開いている」場合は「0」、「折っている」場合は「1」というふうに2進法の数を対応させます。そして「親指だけを折っている状態」を「1」、「人差し指だけを折っている状態」を「10」というふうに2進数で表してみましょう。