数字に強い人なら一瞬！｢約数の理解｣を計る問題 ほとんどの数に｢約数が偶数個ある｣のはなぜか

約数とは、先ほどもお話ししたとおり「ある整数に対して、その数を割り切ることのできる整数」のことです。この問題は、約数の個数を考えて、「1~100のなかで約数が偶数個あるものはいくつか？」という問題と答えが同じになるわけですね。

「小さい数」で実験してみる

では、いくつか試してみましょう。

2番目の箱はどうでしょう？　これは、1と2が約数なので、2個ボールが入ることになりますね。同じように、10番目の箱は、1と2と5と10が約数なので、4個ボールが入ることになりますね。12番目の箱は、1と2と3と4と6と12が約数なので、6個ですね。

こう考えていくと、実はかなり、約数の数が偶数個のものが多いのではないか、ということがわかります。

なぜ、約数は偶数個の場合が多いのでしょうか？　まず、約数を求めるときに重要なのは、「◯×■」の形に置き換えて、その個数を数えることです。

例えば「2・3・5・7・11・13」のような素数は、「1×2」「1×11」のように、「1×『その数』」となります。この場合、約数は「1とその数」になるわけです。11は「1と11」、13は「1と13」となりますよね。この場合は2個で、約数が偶数個あることになります。

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6や8のような数は、6は「1×6」の他に「2×3」、8は「1×8」の他に「2×4」とあらわせます。このとき、6の約数は「1・2・3・6」、8の約数は「1・2・4・8」の各4個となり、これも偶数です。

12は「1×12」「2×6」「3×4」になりますから、「1・2・3・4・6・12」で6個となり、偶数個になるわけです。

「◯×■」の形で表せる個数が1つのパターン（1×「その数」）しかなければ約数は2個、2つのパターンなら4個、3つのパターンなら6個となっていきます。

そう考えると、100までの数の約数は、ほとんどが偶数個あるのです。

約数が奇数個なのは、どんな場合か

ではこの問題の答えを求めるために、逆のことを考えてみましょう。約数の個数が奇数になるのは、どんなときでしょうか？

これは、「◯×■」の形で表したときに、○と■が同じ数の場合ですね。例えば、4や9を考えてみてください。4は「1×4」の他に「2×2」、9は「1×9」の他に「3×3」となります。

このとき、普通であれば「◯×■」の形で2つのパターンで表せるので4個になるはずですが、4は約数が「1・2・4」、9は「1・3・9」で、両方とも3個となります。なぜこうなるかというと、「2×2」「3×3」のように、同じ数が被っているからですね。本来4個になるはずが、同じ数同士での掛け算だから、1個減ってしまうわけです。

つまりは4や9のように、「同じ数同士の掛け算」で表せる数が、奇数個の約数を持つことがわかります。例えば16なら、「1×16」「2×8」「4×4」で、本来なら6個の約数を持つはずですが、4が被っているので約数は5個で奇数となります。

こうやって考えていくと、100までの中に問題の条件と合うのは、次の10個が該当するとわかるはずです。

ということで、100個の中からこの10個を引いて、答えは90個となります。

いかがでしょうか？　100までの数の中で、偶数個の約数を持つものは90個もあるというのはちょっと面白いですよね。ぜひ、約数に対する理解を深めてみてください！

西岡 壱誠：現役東大生・ドラゴン桜2編集担当