ビジネスで必要条件と十分条件を使いこなす方法 論理的に見えて実はそうではない意思決定をしないために

本来であれば、「希望小売価格は700円以下で、年内に製品化が可能なものを考えてくれ」と最初に必要条件を提示するべきなのです。そうして、あらかじめ考える範囲を狭めておけば、部下も考えやすくなりますし、会議には新製品の必要条件を満たすアイデアだけが出てくるはずですから、せっかく考えたものが無駄になることもありません。

命題とその真偽

数学では、真偽（正しいか正しくないか）を客観的に判断できる事柄を命題と言います。

「富士山は世界一高い山である」は、間違っています（偽です）が、客観的に真偽が判定できるので命題です。一方、「富士山は美しい山である」は、美しいかどうかは主観的な判断であり、客観的には真偽が判定できないので命題ではありません。

一般に、命題「Pならば（⇒）Q」において、P（仮定）は満たすけれど、Q（結論）に当てはまらない例のことを反例と言います。

たとえば「鳥ならば飛ぶことができる」という命題は偽です。なぜならペンギンやダチョウは鳥に分類されますが、飛ぶことができず、反例が存在するからです。

ある命題について1つでも反例が見つかれば、その命題は偽です。これに対して、ある命題が真であることを示すのは簡単ではありません。数学の世界には、反例が見つからないのでおそらく真であると予想されてはいるものの、厳密な証明ができていない命題がたくさんあります。

証明したいときは十分条件を意識する

ただ、ある種の命題に関しては、十分条件を使えば、正しいことが証明できます。「横浜市在住ならば神奈川県在住」を例に考えてみましょう。

この命題は真ですが、「ならば」の前後を逆にした「神奈川県在住ならば横浜市在住」は正しくありません。神奈川県在住の人の中には、川崎市在住や鎌倉市在住など横浜市以外に在住の人がいて、反例があるからです。

一般に、PがQに完全に含まれているとき「P⇒Q」の命題は必ず真です。このときPを（Qであるための）十分条件、Qを（Pであるための）必要条件と言います。そして、

「十分条件⇒必要条件」は必ず真

「必要条件⇒十分条件」は必ず偽

です。

片方が他方に完全に含まれているならば、小さい方が十分条件、大きい方が必要条件ですから、次のように言うこともできます。

「小⇒大」は必ず真

「大⇒小」は必ず偽

冒頭の問題の【解答】

「睡眠時間が7時間以上⇒仕事の効率が上がる」が真ならば、睡眠時間が7時間以上は十分条件なのに、上司があたかも必要条件のように言っているのはおかしい。

【解説】

上司は「睡眠が7時間以上⇒仕事の効率が上がる」と言っているので（ここではこの命題自体の真偽は問いません）、「睡眠が7時間以上」は（仕事の効率が上がるための）十分条件です。それなのに上司は「7時間以上の睡眠が必要である」と言っていて、必要条件と十分条件がすり替わっています。

本来は仕事の効率が上がる方法は他にもあるはずなのに、7時間以上の睡眠が少なくとも必要な条件のように言うのはおかしいわけです。

他にも「あなたの病気は手術すれば治ります。だから、あなたは手術を受ける必要があります」という医師による説明も同じように矛盾しています。

一般に「A⇒Bです。だからBのためにはAの必要があります」の形の文章は、論理的に正しくありません。惑わされないように注意しましょう。

永野 裕之：永野数学塾塾長